Teorema Chebyshev

BAB 1

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Varian suatu peubah acak memberi gambaran mengenai penyebaran pengamatan disekitar nilai rataan. Bila variansi atau simpangan baku suatu peubah acak kecil maka dapat diharapkan bahwa umumnya pengamatan mengelompokan dekat disekitar nilai rataan. Karena itu, peluang suatu peubah acak mendapat nilai dalam suatu selang tertentu disekitar nilai rataan akan lebih besar daripada peubah acak serupa yang lebih besar simpangan bakunya.

Bila peluang dinyatakan dengan luas maka dapat diharapkan bahwa suatu distribusi kontinu dengan simpangan baku yang kecil mempunyai sebagian besar luasnya dekat dengan . Akan tetapi, nilai  yang besar menyatakan penyebaran yang lebih besar sehingga dapat diharapkan luas tadi lebih menyebar.

B.     Manfaat

Dapat menentukan peluang peubah acak yang mendapat nilai dalam jarak k simpangan baku dari harga rataannya paling sedikit (1 – 1/k²) dengan k bilangan real.

BAB 2

ISI

A.    Teorema

Chebychev, seorang matematikawan Rusia, menemukan bahwa bagian luas antara dua nilai yang simetri terhadap nilai rataan berkaitan dengan simpangan baku. Karena luas di bawah kurva distribusi peluang atau dalam histogram peluang berjumlah 1, maka luas antara dua bilangan sembarang menyatakan peluang peubah acak yang bersangkutan mendapat nilai antara kedua bilangan tersebut.

Teorema berikut dikemukakan oleh Chebychev, memberikan taksiran yang kolot (konservatif) tentang peluang bahwa setiap peubah acak X mendapat nilai dalam k simpangan baku dari nilai rataannya untuk setiap bilangan k real adalah paling sedikit  , yaitu:

BUKTI

Menurut definisi terdahulu mengenai variansi x  maka dapat ditulis

² =

=

=

 +

karena yang kedua dari ketiga integral taknegatif. Sekarang, karena dalam kedua integral lainnya. Maka

dan bahwa

Sehingga

Dan teorema telah terbukti.

Untuk k = 2 teorema menyatakan bahwa peubah acak X mempunyai peluang paling sedikit  1 – (1/2)² = ¾ mendapatnilai dalam jarak dua simpangan baku dari nilai rataan. Yaitu tiga perempat atau lebih pengamatan setiap distribusi terletak dalam selang .begitu pula teorema tersebut menyatakan bahwa paling sedikit delapan persembilan pengamatan setiap distribusi terletak dalam selang

B.     Permasalahan

1.      Suatu peubah acak X mempunyai rataan  = 8, variansi ² = 9, sedangkan peluang distribusinya tidak diketahui. Hitunglah :

a.      P (-4 < x < 20)

b.      P (1x – 81 ≥ 6)

2.      Suatu peubah acak X mempunyai rataan  = 12, variansi ² = 9, sedangkan peluang distribusinya tidak diketahui. Dengan menggunakan teorema Chebyshev hitunglah:

a.      P (6 < x < 18)

b.      P (3 < x < 21) 

3.      Suatu peubah acak X mempunyai rataan  = 10, variansi ² = 4. Dengan menggunakan teorema Chebyshev hitunglah:

a.      P ( | x – 10 | ≥ 3)

b.      P ( | x – 10 | < 3)

c.       P ( 5 < x < 15)

4.      Suatu peubah acak X mempunyai rataan =8, variansi  sedangkan distribusinya tidak diketahui. Hitunglah

a.     

b.     

C.     Pembahasan

1.      Diketahui :  = 8, ² = 9

Ditanyakan: a. P (-4 < x < 20)

b.P (1x – 81 ≥ 6)

Penyelesaian :

a.       P (-4 < x < 20) = P (µ - k  < x < µ + k ) ≥ 1 -

b.      P (|x – 8| ≥ 6) = P (µ - k  < x < µ + k ) ≥ 1 -

atau

2.      Diketahui :  = 12, ² = 9

Ditanyakan :  a. P (6 < x < 18)                                                        

b. P (3 < x < 21) 

Penyelesaian:      

a. . P (-4 < x < 20)= P (µ - k  < x < µ + k ) ≥ 1 -

b.P (3 < x < 21) = P (µ - k  < x < µ + k ) ≥ 1 –

3.      Diketahui :  = 10, ² = 4.

Ditanyakan : a. P ( | x – 10 | ≥ 3)

b. P ( | x – 10 | < 3)

c. P ( 5 < x < 15)

Penyelesaian :

a.      P ( | x – 10 | ≥ 3)= 1 – P ( | x – 10|<

b.      P ( | x – 10 | < 3) = P (-3 < x – 10 < 3) ≥ 1 -

c.       P ( 5 < x < 15) =

4.      Diketahui : =8,

Ditanyakan : a.

b.

Penyelesaian :

a.        P (µ - k  < x < µ + k ) ≥ 1 –

 

P (µ - k  < x < µ + k ) ≥ 1 –

 

D.    Kesimpulan

Teorema Chebychev Peluang bahwa setiap peubah acak X mendapat nilai dalam k simpangan baku dari nilai rataan adalah paling sedikit  , yaitu: